OpenAI опубликовала 722 работы своей модели по открытым задачам математики

OpenAI выложила на GitHub 722 математические рукописи, которые написала её невыпущенная внутренняя модель, и среди них — заявленные решения давно открытых задач. В соцсети X компания назвала их «широким набором новых математических результатов» и сообщила, что советовалась с независимой группой математиков при Институте перспективных исследований¹ в Принстоне.

Почему это важно: в сентябре OpenAI заявила, что модель решила больше 100 открытых задач, но не раскрыла, каких именно. Теперь эти работы может прочитать и проверить любой математик.

Предыстория: отношения OpenAI с математиками напряжены с начала сентября.

• В начале сентября компания заявила, что её модель решила задачу тысячелетия² об уравнениях Навье — Стокса, и вокруг результата начался спор о том, кому принадлежит заслуга.
• Позже в сентябре OpenAI объявила о группе из девяти математиков, среди них Тимоти Гауэрс, Мартин Хайрер и Эдвард Виттен, которая бесплатно советует ИИ-лабораториям, как выпускать такие результаты.

В цифрах:

• 722 рукописи разбиты на 372 семейства; одно семейство объединяет связанные работы — например, главный результат, его следствия, вспомогательные рассуждения или другое доказательство того же.
• Семейства относятся к 17 разделам математики — от теории чисел до алгебраической геометрии.
• Модели дали около 4 000 задач, а в каталог вошли результаты, прошедшие отбор по значимости.
• На один результат в среднем ушло столько вычислений, сколько на три часа размышлений модели в режиме ChatGPT Pro.

Детали: среди заявленных результатов:

• У дзета-функции Римана и родственных ей L-функций Дирихле нет нулей с действительной частью больше 7/8; в отдельной работе другим путём доказана более слабая граница для дзета-функции — 11/12.
• Нет алгоритма, который по любому многочлену с целыми коэффициентами определит, есть ли у него рациональное решение, — это отрицательный ответ на десятую проблему Гильберта над рациональными числами.
• Гипотеза Ходжа³, одна из задач тысячелетия, доказана для всех абелевых многообразий с комплексным умножением⁴ в любой размерности.
• Гипотеза Малера доказана во всех размерностях: у симметричного выпуклого тела объём, умноженный на объём двойственного ему тела, не меньше, чем у куба, а у любого — чем у симплекса.

Гипотеза Римана утверждает, что все нетривиальные нули дзета-функции лежат на прямой с действительной частью 1/2. До сих пор не было доказано даже, что они не подходят сколь угодно близко к единице. Десятую проблему Гильберта для целых чисел решил в 1970 году Юрий Матиясевич.

Как это работает: OpenAI давала модели открытые исследовательские задачи во время обычных проверок при разработке и расширила такие проверки, когда на прежних математических тестах результаты упёрлись в потолок.

• Почти все результаты получены по одной схеме: модель получала задачу, а её ответы OpenAI собирала в рукописи, объединяла в семейства и оставляла только достаточно значимые.
• Некоторые работы опираются на прежние результаты, которые тоже получили модели OpenAI.
• Вне этой схемы получены работа об одной из границ для нулей дзета-функции и доказательство для гипотезы Ходжа; какая это граница и как шла работа над ними, OpenAI не уточняет.
• Текст доказательства с границей 11/12 люди отредактировали, чтобы его было легче читать.

Но: проверены работы по-разному. Формальные доказательства в Lean — программе, которая механически проверяет каждый шаг, — есть у многих рукописей, но не у всех. У результата о нулях дзета-функции такое доказательство для границы 7/8 есть, а у десятой проблемы Гильберта и гипотезы Ходжа в каталоге его нет. OpenAI сама предупреждает, что в неформализованных работах могут найтись ошибки.

Другая сторона: 29 сентября та же группа выпустила общие правила для ИИ-лабораторий: «Мы не одобряем эту практику и просим прекратить испытывать закрытые модели на сложных математических задачах». Ещё она просила раскрывать название модели, время и стоимость вычислений и число задач, которые модель не решила. Имя модели OpenAI не назвала. Сколько задач модель не решила, тоже неизвестно: ей дали около 4 000 задач, а в каталог после отбора по значимости вошли 372 семейства работ.

Что дальше: OpenAI обещает быстро исправлять ошибки и добавлять формальные доказательства по мере готовности; исправления выйдут новыми версиями, прежние останутся доступны. Компания присматривается и к хранилищам, которые ведёт само сообщество. Одно такое, Hexagon, в тот же день представил Теренс Тао: туда принимают работы, написанные языковыми моделями, даже если в них не разобрался ни один человек.